Single Number II

2017-11-27

LeetCode 的一道题,在一个 int 数组中,其余数值均出现了 3 次,只有一个数值出现了 1 次,求这个数: https://leetcode.com/problems/single-number-ii/description/

Given an array of integers, every element appears three times except for one, which appears exactly once. Find that single one.

Note: Your algorithm should have a linear runtime complexity. Could you implement it without using extra memory?

要求时间复杂度为 $O(n)$,并挑战读者是否能在空间复杂度 $O(1)$ 的条件下解决。

哈希表法

一种显而易见的方法就是用哈希表,但是空间复杂度为 $O(n)$。这里不做赘述。

统计二进制位出现次数

对 int 整型数的每个二进制位,统计其在所有元素中出现的次数。出现次数有 3 种情况:

  1. 为 0

  2. 为 3 的倍数

  3. 为 1

我们只需要把出现次数模 3 后为 1 的位重新组合,就得到所求数值。

为此,我们可以定义一个长度为 int 类型比特位数,也就是sizeof(int) * 8长度的 int 数组,用来统计每个二进制位出现次数。

数组长度在特定机器上是固定的,因此空间复杂度为 $O(1)$。C 语言实现参考上面的链接。

位操作法

在上面的方法中,用一个 int 数组来统计二进制位出现次数有点浪费,事实上在统计次数时,只需要考虑 3 种情况:0、1、2,当次数到达 3 时,将其重置为 0 即可,这其实是 3 进制运算。

要保存 3 种状态,只需要 2 个比特:

012
000110

int 类型的每个比特需要 2 个比特保存状态,一个保存低位比特,一个保存高位比特,那么总共只需要 2 个 int 来保存。接下来要做的就是用 2 个比特模拟 3 进制运算。

通过真值表写出逻辑表达式

设 A 表示低位,B 表示高位,C 表示当前统计的比特,列出真值表:

B ACB’A'
0 000 0
0 010 1
0 100 1
0 111 0
1 001 0
1 010 0

先计算新的低位,逻辑表达式为

$$A'=\overline{B} , \overline{A} , C + \overline{B} , A , \overline{C} =(A\oplus{C}) , \overline{B}$$

在编码实现时,计算 A' 覆盖了原先的 A,再计算 B' 时就需要用 A' 计算:

$$B'=\overline{B} , C , \overline{A'} + B , \overline{C} , \overline{A'} =(B\oplus{C}) , \overline{A'}$$

用 C 语言编码为:

int one = 0, two = 0;
for (int i = 0; i < numsSize; ++i) {
    one = (one ^ nums[i]) & ~two;
    two = (two ^ nums[i]) & ~one;
}

最终的one恰好就是所求的数值,而two理论上为 0,因为根据题中条件不会有出现 2 次的情况。

复杂度

时间复杂度为 $O(n)$,空间复杂度为 $O(1)$,只用了两个int

实现源码

https://github.com/qianbinbin/leetcode

参考资料

  1. Single Number II - LeetCode
LeetCode算法位操作
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